Pigrecate

Anche quest’anno è appena passato il 14 marzo, che internazionalmente è il giorno dedicato a PiGreco (3.14). Il bello di questa ricorrenza è che si sentono ripetere molte scemenze pseudo-matematiche. E molti ad applaudirle a bocca aperta, dimostrando di non voler applicare la dose minima di ragionamento e senso critico.

La mia preferita? il fatto che PiGreco, poiché è un numero trascendente, e come tale ha un’espansione decimale infinita e non periodica, comprenderebbe nella sua espansione qualsiasi sequenza di cifre (quindi anche il tuo compleanno, il tuo saldo in banca, il numero di telefono di Belen, il risultato della prossima estrazione del SuperEnalotto, e così via). Molto poetico ed ispiratore, ma purtroppo falso (o meglio, non è noto se sia vero).

Ricordiamo i fatti (mi scusino i matematici veri per le semplificazioni):

• è vero che l’espansione di PiGreco è infinita
• è vero che tale espansione non è periodica (ossia non esiste una sequenza di cifre che, da un certo punto in avanti, si ripete sempre uguale)
• queste proprietà sono valide in qualsiasi base si esprima il numero.

Ma l’infinito è grande. Il fatto che ci siano infinite cifre, sempre diverse, non implica che una determinata sequenza debba necessariamente essere presente. Posso andare avanti con infinite cifre senza mai ripetermi ed evitando sempre (ad esempio) la sequenza 111222333444.

Dimostrazione:

• Esprimete PiGreco in base 9. PiGreco=3,124188124074472… (fonte OEIS)
• Ovviamente, avrà una espansione infinita e non periodica.
• Ma, per costruzione, la sua espansione (pur essendo infinita e non periodica) non conterrà mai la cifra ‘9’ (che in base 9 non esiste)
• Ora, rileggiamo il numero in base 10 (non vale più PiGreco, ma non importa)
• Avremo una sequenza numerica infinita, non periodica, che non conterrà mai ‘9’ né alcuna sequenza che contenga ‘9’.

Quindi non è detto che un numero trascendente possa contenere ogni possibile sequenza. Per poterlo dire sarebbe necessario ipotizzare in più che PiGreco sia un Numero Normale (il che non è al momento ancora noto), ed anche il tal caso sarebbe vero solamente in senso statistico (la probabilità di trovare una sequenza tende al 100%).

Se vogliamo costruire un numero che contenga ogni possibile sequenza, c’è un metodo molto più semplice (anche se meno poetico-evocativo):

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 … 98 99 100 101 102 … 999 1000 1001 … (Ha anche un nome: è la costante di Champernowne)

È un po’ lungo, e decisamente noioso, ma tanto l’infinito è grande e c’è spazio per tutti… prima o poi troverai il numero che ti serve.

P.S. se ho commesso degli errori matematici, sarei ben lieto di essere corretto.